Bir Sayının Rakamları Toplamı


Soru: Keyfî bir \(n\) doğal sayısının rakamları toplamının ve sayının kendisinin \(k\) ile tam bölünme olasılıkları nelerdir?


\(n, k, m > 0 \) ve \(n, k, m \in \mathbf{N} \) olmak üzere, sezgizel olarak \([1, m]\) aralığındaki sayılardan sırasıyla her \(k\) taneden bir tanesi \(k\) ile tam bölünür. Çünkü bu dizi aşağıdaki formda yazılabilir: \[ \dots,\, (n.k),\, (n.k+1),\, (n.k+2),\, \dots,\, (n.k+(k-1)),\, ((n+1).k),\, ((n+1).k + 1),\, \dots \]

Bu durumda her \(m\) doğal sayısı için, \([1, m]\) aralığındaki \(k\) ile tam bölünebilen sayılar \(\lfloor \frac{m}{k} \rfloor\) tanedir. Dolayısıyla \([1, m]\) aralığındaki sayıların \(k\) ile tam bölünme olasılığı: \[ R(m, k) = \frac{\lfloor \frac{m}{k} \rfloor}{m} \tag{1} \] olur.


\(T(x)\) fonksiyonu, \(x\) sayısının 10 tabanında rakamları toplamı olarak tanımlanıyor. Bu durumda \(T(x)\), L. E. Bush'un teoreminden tam değeri hesaplanabilir. Ancak tam değeri yerine yaklaşık hangi aralıkta olabileceğini hesaplayalım. \(x\) sayısında \(\lfloor log_{10} x \rfloor\ + 1\) adet rakam olacağından, \(T(x)\)'in maksimum değeri \(MT(x) = 10^{\lfloor log_{10} x \rfloor\ + 1)} - 1\) olur.

Bu durumda denklem (1)'den \([1, m]\) aralığındaki bir sayının rakamları toplamının \(k\) ile tam bölünme olasılığının yaklaşık değeri şu şekilde hesaplanabilir: \[ S(m, k) =\sum_{n=1}^{m}{\frac{\lfloor \frac{MT(n)}{k} \rfloor}{MT(n)}} \tag{2} \]


Her iki durumda da, (1) ve (2) numaralı denklemlerde yeterince büyük \(m\) değerleri için olasılık \(\frac{1}{k}\)'ya eşit olmuş olur.